Kreisberechnung


Kreissektor und Kreisausschnitt


Ein Kreissektor ist ein Ausschnitt eines Kreises, der von zwei Radien und einem Kreisbogen umgeben ist. Er wird auch als Kreisausschnitt bezeichnet.

- Der Kreisausschnitt-Fläche As Verhält sich zur Kreisfläche Ak, wie α zu 360° As/Ak = α/360° → As = Ak · α/360°
mit Ak = π · r2 → As = π · r2 · α/360°

- Der Kreisbogen bs Verhält sich zum Umfang Uk, wie α zu 360°
bs/Uk = α/360° → bs = Uk · α/360°
mit Uk = 2π · r → bs = π · r · α/180°

Beispiele zu Kreisbogen und Kreisausschnitt
  1. Berechne die Länge des Bogens und den Kreisausschnitt für r = 5cm et α = 45°
      2. Kreisbogen bs = π · r · α/180° = 3,14 · 5 · 45°/180° = 3,9 ≈ 4cm => bs = 4cm
      Kreisausschnitt As = π · r2 · α/360° = bs·r/2       = 4·5/2 = 10cm2 => As = 10cm2

  2. Berechne die Fläche As eines Kreisausschnitts
    3. Gegeben: d = 120 mm | α= 100°
    Nach der Formel: As = π · r2 · α/360° | mit r = d/2 → As = π · (d/2)2 · α/360°
    As = π · (120/2)2 · 100°/360° = 3141.59 ≈ 3141.6mm2 → As = 3141.6mm2

Kreisring

Der Flächeninhalt ARing eines Kreisringes entspricht der Differenz der beiden Kreise, also Kreise 1 K1 und Kreise 2 K2
ARing = A1 - A2 = π·r12 - π·r22 = π·(r12 -r22)

Beispiel zu Kreisring
Der äußere Radius eines Kreisringes r1 beträgt 8 cm und der Flächeninhalt des Kreisringes ARing ist 40 cm2.
Wie groß ist der Innenradius r2?
==> Nach der Formel: ARing = π(r12 - r22) | (Nach r2 rechnen)
→ ARing/π = r12 - r22 | - r12
- r12 + ARing/π = - r22 | · (- 1)
r12 - ARing/π = r22 | √ (Wurzel ziehen)
r2 = √(r12 - ARing/π) | mit r1 = 8cm und ARing = 40cm2 eisetzen: → r2 = 7,16 cm

Übung zu Kreisberechnung

Aufgabe 1:
In einem italienischen Restaurant werden 2 Größen angeboten: Maxi und Mini. Die Maxi-Pizza hat einen Durchmesser von 30 cm und kostet 4,50 €. Die Mini-Pizza hat einen Durchmesser von 20 cm und kostet einen Euro weniger. Welche der beiden ist am teuersten?
Lösung ►►

Aufgabe 2:
Von einem Achtelkreis mit dem Radius r = 8,0cm sind Der Flächeninhalt, die Bogenlänge und der Umfang zu bestimmen!
Lösung ►►

Aufgabe 3:
Berechne den Durchmesser eines Baumes, der einen Umfang von 1,2 m hat.
Lösung ►►






























Aufgabe 1:
Geg.: d1 = 30cm ==> r1 = d1/2 = 15cm | d2 = 20cm ==> r2 = d2/2 = 10cm | Maxi-Pizza = 4,50€
Gesucht: Preisunterschied in %.
- Flächeninhalt der beide Pizza berechnen:
 A1 = π · r12 = 3,14 · (15cm)2 = 706,86cm2 | A2 = π · r22 = 3,14 · (10cm)2 = 314,2cm2
- Preise pro cm2:
  * Maxi-Pizza: 4,50€/A1 = x/1cm2 → 4,50€/706,86cm2 = x/1cm2 ==> x = 0,00636€/cm2 oder 0,636%
  * Mini-Pizza: (4,50€ - 1)/A2 = y/1cm2 → (4,50€ - 1)/314.2cm2 = y/1cm2 ==> y = 0,011€/cm2 oder 1,1%
 Preisunterschied in %: P% = 1.1 - 0.636 = 0,47
Mini-Pizza ist 47% teurer als Maxi-Pizza!


Aufgabe 2:
Geg.: r = 8,0cm, α = 45°, Die Kreiszahl π = 3,14 bekannt
Gesucht: Der Kreissektor As, die Bogenlänge bs und der Sektorumfang us
Laut der Formel:
- As = 3,14 · (8,0cm)2 · 45°/360° = 25,12cm2
- bs = &pi · 8,0cm · 45°/180° = 6,28cm
- us 2 · r + 6,28 = 22,28cm


Aufgabe 3:
U = 2 · π · r = 1,2m ==> r = 1,2m/2π = 0,190 ≈ 0.2m | d = 2 ∙ 0,2 ≈ 0,4m
Der Durchmesser des Baumes: d ≈ 0,4m











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