Quadratische Gleichugen

Quadratische Gleichung

Definition:
Es handelt sich um eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 oder eine Gleichung die man auf diese Form bringen kann. Dabei sind a, b und c irgendwelche Zahlen wobei a ungleich Null (a # 0) sein muss

N.B.: Die Graphe einer Quadratischen Gleichung ist eine Parabel

Beispiele:

1. 3x² + 5x + 3 = 0
2. x² + 2x + 7 = 0

Quadratische Gleichung mit PQ-Formel Lösen

• Die Gleichung ist: x² + px + q = 0
• Die Lösung: x_1/2 = - ^p⁄₂ ± √((^p⁄₂)² - q)

So wird es gelöst:

• Die Gleichung in die Form x² + px + q = 0 bringen;
• ″p″ und ″q″ rausfinden;
• Dies in die PQ-Formel einsetzen;
• Die Lösung damit Berechnen.

Beispiel:

• 3x² + 5x + 1 = 0 | :3 (in der Standard Form bringen)
⇒ x² + ⁵⁄₃x + ¹⁄₃ = 0;
• p = 1,66 und q = 0,33;
• x_1/2 = - 0,83 ± 0,6;
• x₁ = -0,83 + 0,6 = - 0,23 ⇒ x₁ = - 0,23
und
x₂ = -0,83 - 0,6 = - 1,43 ⇒ x₂ = - 1,43

Satz von Vieta: Seien x₁ und x₂ die Lösungen der quadratischen Gleichung x²+ px + q = 0, dann gilt:

1. x₁ + x₂ = - p;
2. x₁ ⋅ x₂ = q.

Beispiel: x² + px + q = 0 hat die Lösungen x₁ = 3 und x₂ = - 2. Bestimme die Keoffizienten der Gleichung!
Lösung:

• - p = x₁ + x₂ = 3 - 2 = 1 ⇒ p = - 1
• q = x₁ ⋅ x₂ = 3 ⋅ (-2) = - 6 ⇒ q = - 6

Die Gleichung lässt sich den schreiben: x² - x - 6 = 0.


Übungen: Löse folgende quadratische Gleichungen, mit PQ-Formel!

1. x² - 5x + 6 = 0
2. x² - 6x = 27
3. 3x² + 30x + 72 = 0

Zu den Lösungen

Scheitelpunkt einer Parabel: 

Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. tiefste Punkt (Extrempunkt) einer Parabel.

Eigenschaften:

• Die Steigung der Parabel ist am Scheitelpunkt 0.
• Parabel nach oben geöffnet =>  Der Scheitelpunkt ist das Maximum der Funktion. 
• Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Gerade x = 1.
• S(1 | 1).

Eigenschaften:

• Die Steigung der Parabel ist am Scheitelpunkt 0.
• Parabel nach unten geöffnet => Der Scheitelpunkt ist das Minimum der Funktion.
• Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Gerade x = 2,5
• S(2,5 | 2,5).

Berechnung des Scheitelpunkts:

      Der Scheitelpunkt lässt sich mit Hilfe der Scheitelpunksform der Funktion einfach ablesen.

• Scheitelpunktsform: f(x) = a⋅(x - d)² + e
• Scheitelpunkt: S(d | e)

Beispiel:

Funktion	Scheitelpunktsform	Scheitelpunkt
f(x) = x2 - 4x + 8	f(x) = (x - 2)2 + 4	- d = - 2 => d = 2 e = 4 => S(2 | 4)

Übungen: Berechne für folgende Parabeln die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt. Zeichne den Graphen.

1. f(x) = x² + x - 3
2. f(x) = x² + 4x + 1
3. f(x) = x² + 2x + 5

Zu den Lösungen