Potenzen und Wurzeln
Potenzen mit natürlichen Exponenten
a · a · a · a ·...· a = aⁿ | mit a ∈ R und n ∈ N* (N \ {0} = {1, 2, 3, ..., n})
Die Basis a ist eine reelle Zahl und der Exponent n ist eine natürliche Zahl!!
Beispiele:
Hinweis:Nur gleichartige Potenzen kann man addieren bzw. subtrahieren!
Beispiele:
n√a = b ⇔ a = bn | mit a ∈ R0+ ^ n ∈ N*
Eigenschaften:
Beispiele Addition und Subtraktion:
Beispiele Multiplikation und Division:
a-n = 1/an, mit a ∈ R \ {0} ^ n ∈ N* | a0 = 1
Beispiele:
Beispiele Addition und Subtraktion:
Beispiele Multiplikation und Division:
am/n = n√am, mit a ∈ R+, m ∈ Z, n ∈ N*
Hinweis: a1/2 = √a, a1/3 = 3√a, usw.
Beispiele:
(3·√2)2 = 3² · (√2)² = 9·2 = 18
(√4)4 = (51/2) = 54/2 = 5² = 25
a3/2 · √a = a3/2 · a1/2 = a4/2 = a²
Potenzen mit rationalen Exponenten
Form: xm/n = a, mit a ∈ Z, n ∈ N*, a ∈ R
Löse die Aufgaben:
a · a · a · a ·...· a = aⁿ | mit a ∈ R und n ∈ N* (N \ {0} = {1, 2, 3, ..., n})
Die Basis a ist eine reelle Zahl und der Exponent n ist eine natürliche Zahl!!
Beispiele:
- 30 = 1
- 3¹ = 3
- - 16 = - (16;) = - 1 aber (- 1)6 = 1
- (- 3/4)2 = (- 3/4) · (- 3/4) = 9/16
- (√7)3 = √7 · √7 · √7 = 7 · √7
| am · an = am + n | am/an = am - n, mit m > n |
| (a · b)n = an · bn |
(a/b)n = an/bn
|
(am)n = am·n
|
(am·n)0 = a0 = 1
|
Beispiele:
- 23 + 24 - 25 = 23 · (1 + 2 - 4) = - 23 = - 8
- [(2/3)3]2 = (2/3)6 = 64/729
n√a = b ⇔ a = bn | mit a ∈ R0+ ^ n ∈ N*
Eigenschaften:
- n√a ≥ 0 für alle a ∈ R0+
- n√an = a für alle a ∈ R0+
- n√a · n√b = n√(a · b)
- n√a/n√b = n√(a/b)
- m√n√a = mn√a
- n√a = nm√am, mit m ≥ 1
- (n√a)m = n√am, mit m ≥ 1
Beispiele Addition und Subtraktion:
- 3√5 + 2 · 3√5 = 3 · 3√5
- √8 - 3√2 = √[(22) · 2] - 3√2 = 2√2 - 3√2 = - √2
Beispiele Multiplikation und Division:
- 3√2 · 4√3 = 12√24 · 12√33 = 12(√24 · 33) = 12√432
- 3√16/3√2 = 3√(16/2) = 3√8 = 2
a-n = 1/an, mit a ∈ R \ {0} ^ n ∈ N* | a0 = 1
Beispiele:
- (- 6)-2 = 1/(- 6)2 = 1/36
- 2-3 = 1/23 = 1/8
Beispiele Addition und Subtraktion:
- 10-3 + 2·10-3 - 4·10-3 = -10-3
- (1 - x)n-1 - x(1 - x)n-1 = (1 - x)·(1 - x)n-1 = (1 - x)n
Beispiele Multiplikation und Division:
- x-2 · x-3 · x4 = x-2-3+4 = x-1 = 1/x
- x-2/x-3 = x-2 · x3 = x
am/n = n√am, mit a ∈ R+, m ∈ Z, n ∈ N*
Hinweis: a1/2 = √a, a1/3 = 3√a, usw.
Beispiele:
- 93/
2
Form: xm/n = a, mit a ∈ Z, n ∈ N*, a ∈ R
- 5√x² = 2
=>x2/5 = 2
=>25 = x2 | √ rechnen
x1/2 = ± √32
x1 = √32;, x2 = - √32;
==> L = {-√32 | √32} - 6√x5 = 10-5
=> x5/6 = 10-5
=> x5 = 10-30 => x = 10-6
=> L ={10-6} - x-3 = 8 ⇔ 1/x3 = 8
⇔ x3 = 1/3 ⇔ x = 3√(1/8)
=> x = 1/2 ==> L = {1/2}
Löse die Aufgaben:
| Aufgabe 1 | Aufgabe 2 | Aufgabe 3 |
| (a2b-3)/a | (√3 - √5)2 | x2 + x3 |
| x4 · x3 | √18 - 3√8 | x4 / x7 |
| (x3)5 | (1 + 5)6 | (√3)3 · (√3)7 |
| 1 / x - 5 | 4√16 | y3x+4 / yx-2 |
| Lösungen |
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