Mathe mit Spaß

Vermischte Übungen Löse auf dem Grundintervall: a) sin x = − 0,6  |   : arcsin   ==> x = sin -1 (− 0,6) = − 0,6

Seitenlängen - Winkelgrößen im Viereck bestimmen (weiter) Mit der gleiche Methode und unterschiedlische Werten: b) a = 9,5cm, b= 7,6cm, c = 8,5cm, d = 3,7cm, e = 6,5cm Im Dreieck abc : • Cosinussatz: e ² = a ² + b ² − 2 · a · b · cos (β)      und β = cos -1 (0,73) = 42,9°, β = 42,9° • Sinussatz: sin (γ 1 ) a  =  sin (β) e  ↔  sin (γ 1 )  =  a e · sin (β) ==> γ 1  = sin -1 (0,99) = 84,33°, γ 1 = 84,33° • α 1 = 180° − 42,9° − 84,33° = 52,76°, α 1 = 52,76° Im Dreieck dce : • Cosinussatz: e ² = c ² + d ² − 2 · c · d · cos (δ)      und δ = cos -1 (0,7...

Seitenlängen - Winkelgrößen im Viereck bestimmen Im Dreieck abe: Geg. : β = 75 °, a = 10cm, b = 8cm   |    Ges. : α 1 , γ 1 , e. Es gilt: • Cosinussatz: e ² = a ² + b ² − 2 · a · b · cos (β)                 ==> e ² = 10 ² + 8 ² − 2 · 10 · 8 · cos (35°) = 11,07 , e = 11,07cm • Sinussatz: a sin (γ 1 )  =  e sin (β)                 ==> sin (γ 1 ) = a e · sin (β) = 60,75°, γ 1 = 60,75° • 180° = α 1 + β + γ 1 ==> α 1 = 180° − β − γ 1 = 44,25°, α ...

Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens Wichtig Die Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck stehen in Beziehung zu den Winkeln, so dass man die Winkel über die Seitenverhältnisse bestimmer kann. Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Abbildung1: Rechtwinkliges Dreieck Gemäß der Abbildung:     > sin α = Gegenkathete von α -------------------------- Hypothenuse   =   a --- c   =   cos β     > cos α = Ankathete von α -------------------------- Hypothenuse   =   b --- c   =   sin β     > tan α = Gegenkathete von α ---------------------------- Ankathete von α   =   a --- b   =   cot β     > cot α = Ankathete von ...

f(x) = x² + x - 3 Mit quadratische Ergänzung ==> Die Scheitelpunktsform lautet: (x + ½)² - ¼ -3 = (x + ½)² - 13 / 4 ==> Der Scheitelpunkt lässt sich so berechnen: - d = -0.5 => d = -0.5 und e = -3.25 und S(-0.5 | -3.25) Figur1 f(x) = x² + 4x + 1 Scheitelpunktsform: (x + 2)² - 4 + 1 = (x + 2)² - 3 Scheitelpunkt: - d = 2 => d = -2 und e = -3 ==> S(-2 | -3) Figur2 f(x) = x² + 2x + 5 Scheitelpunktsform: (x + 1)² - 1 + 5 = (x + 1)² + 4 Scheitelpunkt: - d = 1 => d = -1 und e = +4 ==> S(-1 | 4) Figur3 Figur1 Figur2 Figur3

Grundlegende Potenzregeln Übungsaufgaben: Übung 1: Schreibe als Potenz 9 25 36 144 0,81 8√8 81 zur Lösung1 ►► Übung 2: Berechne (- x 3 ) 7 (- a 3 ) -4 (2 3 ) 2 - x -4 · 1 /x -4 zur Lösung2 ►► Übung 3: Multiplikation, Division, Potenzieren, Radizieren, Kürzen und erweitern von Wurzeln. Multiplikation: √4 · √4 4 √2 · 4 √8 Division: √8 / √32 3 √16 / 3 √2 Potenzieren: ( 3 √4) 6 ( 6 √3 2 ) 4 Radizieren: 3 √ 2 √729 8 √16 Kürzen und erweitern: 6 √7 15 12 √5 16 zur Lösung3 ►► Lösung Lsg 1: 9 = 3 · 3 = 3 2 25 = 5 · 5 = 5 2 36 = 6 · 6 = 6 2<> 144 = 12 · 12 = 12 2 0,81 = 0,9 · 0,9 = 0,9 2 8√8 = 2 3 √2 3 = 2 3 ·2 3 / 2 = 2 3+ 3 / 2 = 2 9 / 2 81 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 oder 9 2 Lsg 2: (- x 3 ) 7 = - x 21 (Das Potenz ist ungleich ==> das Vorzeichen negativ) (- a 3 ) -4 = 1 /(- a 3 ) 4 = 1 /a 12 (2 3 ) 2 = 2 6 = 64 - x -4 · 1...

Aufgaben Lösung zu Gleichsetzungsverfahren ►► Lösung zu Einsetzungsverfahren ►► Lösungen zu Additionsverfahren ►► Lösungen zu Freiwilliges Verfahren ►► Lösung zu Aufgabe 1 ►► Lösung zu Aufgabe 2 ►► Gleichsetzungsverfahren a) y = - x + 8 (I) y = x - 2  (II) (II) = (I) ==> - x + 8 = x - 2 | +x rechnen ==> 8 = 2x - 2 | +2 rechnen ==> 10 = 2x | :2 rechnen ==> x = 5 (III) (III) in eine der Beide Gleichungen einsetzen, am bestens die leichte (II) ==> y = 5 - 2 = 3 ==> y = 3 Die Lösungsmenge ist: L = {3; 5}  ◄◄ zu den Aufgaben b) 1 / 2 ·x = 3y + 7 (I) 1 / 2 ·x - 5y = 15 (II) Die zweite Gleichung nach " 1 / 2 ·x" schreiben: ==> 1 / 2 ·x - 5y = 15 |*(+5y) rechnen ==> 1 / 2 ·x = 5y + 15 (III) (I) = (III) <==> 3y + 7 = 5y + 15 | -3y 7 = 2y + 15 | -15 - 8 = 2y | :2 ==> y = - 4 (IV) (IV) in (I), (II) oder (III) einsetzen: in (III) zum Beispiel: 1 / 2 ·x = 5(-4) + 15 ==>...