Mathe mit Spaß

Vermischte Übungen Löse auf dem Grundintervall: a) sin x = − 0,6  |   : arcsin   ==> x = sin -1 (− 0,6) = − 0,6

Seitenlängen - Winkelgrößen im Viereck bestimmen (weiter) Mit der gleiche Methode und unterschiedlische Werten: b) a = 9,5cm, b= 7,6cm, c = 8,5cm, d = 3,7cm, e = 6,5cm Im Dreieck abc : • Cosinussatz: e ² = a ² + b ² − 2 · a · b · cos (β)      und β = cos -1 (0,73) = 42,9°, β = 42,9° • Sinussatz: sin (γ 1 ) a  =  sin (β) e  ↔  sin (γ 1 )  =  a e · sin (β) ==> γ 1  = sin -1 (0,99) = 84,33°, γ 1 = 84,33° • α 1 = 180° − 42,9° − 84,33° = 52,76°, α 1 = 52,76° Im Dreieck dce : • Cosinussatz: e ² = c ² + d ² − 2 · c · d · cos (δ)      und δ = cos -1 (0,7...

Seitenlängen - Winkelgrößen im Viereck bestimmen Im Dreieck abe: Geg. : β = 75 °, a = 10cm, b = 8cm   |    Ges. : α 1 , γ 1 , e. Es gilt: • Cosinussatz: e ² = a ² + b ² − 2 · a · b · cos (β)                 ==> e ² = 10 ² + 8 ² − 2 · 10 · 8 · cos (35°) = 11,07 , e = 11,07cm • Sinussatz: a sin (γ 1 )  =  e sin (β)                 ==> sin (γ 1 ) = a e · sin (β) = 60,75°, γ 1 = 60,75° • 180° = α 1 + β + γ 1 ==> α 1 = 180° − β − γ 1 = 44,25°, α ...

Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens Wichtig Die Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck stehen in Beziehung zu den Winkeln, so dass man die Winkel über die Seitenverhältnisse bestimmer kann. Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Abbildung1: Rechtwinkliges Dreieck Gemäß der Abbildung:     > sin α = Gegenkathete von α -------------------------- Hypothenuse   =   a --- c   =   cos β     > cos α = Ankathete von α -------------------------- Hypothenuse   =   b --- c   =   sin β     > tan α = Gegenkathete von α ---------------------------- Ankathete von α   =   a --- b   =   cot β     > cot α = Ankathete von ...

f(x) = x² + x - 3 Mit quadratische Ergänzung ==> Die Scheitelpunktsform lautet: (x + ½)² - ¼ -3 = (x + ½)² - 13 / 4 ==> Der Scheitelpunkt lässt sich so berechnen: - d = -0.5 => d = -0.5 und e = -3.25 und S(-0.5 | -3.25) Figur1 f(x) = x² + 4x + 1 Scheitelpunktsform: (x + 2)² - 4 + 1 = (x + 2)² - 3 Scheitelpunkt: - d = 2 => d = -2 und e = -3 ==> S(-2 | -3) Figur2 f(x) = x² + 2x + 5 Scheitelpunktsform: (x + 1)² - 1 + 5 = (x + 1)² + 4 Scheitelpunkt: - d = 1 => d = -1 und e = +4 ==> S(-1 | 4) Figur3 Figur1 Figur2 Figur3

Grundlegende Potenzregeln Übungsaufgaben: Übung 1: Schreibe als Potenz 9 25 36 144 0,81 8√8 81 zur Lösung1 ►► Übung 2: Berechne (- x 3 ) 7 (- a 3 ) -4 (2 3 ) 2 - x -4 · 1 /x -4 zur Lösung2 ►► Übung 3: Multiplikation, Division, Potenzieren, Radizieren, Kürzen und erweitern von Wurzeln. Multiplikation: √4 · √4 4 √2 · 4 √8 Division: √8 / √32 3 √16 / 3 √2 Potenzieren: ( 3 √4) 6 ( 6 √3 2 ) 4 Radizieren: 3 √ 2 √729 8 √16 Kürzen und erweitern: 6 √7 15 12 √5 16 zur Lösung3 ►► Lösung Lsg 1: 9 = 3 · 3 = 3 2 25 = 5 · 5 = 5 2 36 = 6 · 6 = 6 2<> 144 = 12 · 12 = 12 2 0,81 = 0,9 · 0,9 = 0,9 2 8√8 = 2 3 √2 3 = 2 3 ·2 3 / 2 = 2 3+ 3 / 2 = 2 9 / 2 81 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 oder 9 2 Lsg 2: (- x 3 ) 7 = - x 21 (Das Potenz ist ungleich ==> das Vorzeichen negativ) (- a 3 ) -4 = 1 /(- a 3 ) 4 = 1 /a 12 (2 3 ) 2 = 2 6 = 64 - x -4 · 1...

Aufgaben Lösung zu Gleichsetzungsverfahren ►► Lösung zu Einsetzungsverfahren ►► Lösungen zu Additionsverfahren ►► Lösungen zu Freiwilliges Verfahren ►► Lösung zu Aufgabe 1 ►► Lösung zu Aufgabe 2 ►► Gleichsetzungsverfahren a) y = - x + 8 (I) y = x - 2  (II) (II) = (I) ==> - x + 8 = x - 2 | +x rechnen ==> 8 = 2x - 2 | +2 rechnen ==> 10 = 2x | :2 rechnen ==> x = 5 (III) (III) in eine der Beide Gleichungen einsetzen, am bestens die leichte (II) ==> y = 5 - 2 = 3 ==> y = 3 Die Lösungsmenge ist: L = {3; 5}  ◄◄ zu den Aufgaben b) 1 / 2 ·x = 3y + 7 (I) 1 / 2 ·x - 5y = 15 (II) Die zweite Gleichung nach " 1 / 2 ·x" schreiben: ==> 1 / 2 ·x - 5y = 15 |*(+5y) rechnen ==> 1 / 2 ·x = 5y + 15 (III) (I) = (III) <==> 3y + 7 = 5y + 15 | -3y 7 = 2y + 15 | -15 - 8 = 2y | :2 ==> y = - 4 (IV) (IV) in (I), (II) oder (III) einsetzen: in (III) zum Beispiel: 1 / 2 ·x = 5(-4) + 15 ==>...

Potenzen mit natürlichen Exponenten a · a · a · a ·...· a = aⁿ | mit a ∈ R und n ∈ N* ( N \ {0} = {1, 2, 3, ..., n}) Die Basis a ist eine reelle Zahl und der Exponent n ist eine natürliche Zahl!! Beispiele: 3 0 = 1 3&sup1 = 3 - 1 6 = - (1 6 ;) = - 1 aber (- 1) 6 = 1 (- 3 / 4 ) 2 = (- 3 / 4 ) · (- 3 / 4 ) = 9 / 16 (√7) 3 = √7 · √7 · √7 = 7 · √7 Regeln für Potenzen mit natürlichen Exponenten a m · a n = a m + n a m / a n = a m - n , mit m > n ( a · b ) n = a n · b n ( a / b ) n = a n / b n (a m ) n = a m·n (a m·n ) 0 = a 0 = 1 Hinweis: Nur gleichartige Potenzen kann man addieren bzw. subtrahieren! Beispiele: 2 3 + 2 4 - 2 5 = 2 3 · (1 + 2 - 4) = - 2 3 = - 8 [( 2 / 3 ) 3 ] 2 = ( 2 / 3 ) 6 = 64 / 729 Allgemeine Wurzel n √ a = b ⇔ a = b n | mit a ∈ R 0 + ^ n ∈ N* Eigenschaften: n √a ≥ 0 für alle a ∈ R 0 + n √a n = a für alle a ∈ R 0 + n √a · n √b = n √(a · b) n √a / n √b = n √( a / b ) m √ n √a = mn √a n √...

Kreissektor und Kreisausschnitt Ein Kreissektor ist ein Ausschnitt eines Kreises, der von zwei Radien und einem Kreisbogen umgeben ist. Er wird auch als Kreisausschnitt bezeichnet. - Der Kreisausschnitt-Fläche A s Verhält sich zur Kreisfläche A k , wie α zu 360° A s / A k = α / 360° → A s = A k · α / 360° mit A k = π · r 2 → A s = π · r 2 · α / 360° - Der Kreisbogen b s Verhält sich zum Umfang U k , wie α zu 360° b s / U k = α / 360° → b s = U k · α / 360° mit U k = 2π · r → b s = π · r · α / 180° Beispiele zu Kreisbogen und Kreisausschnitt Berechne die Länge des Bogens und den Kreisausschnitt für r = 5cm et α = 45° Kreisbogen b s = π · r · α / 180° = 3,14 · 5 · 45° / 180° = 3,9 ≈ 4cm => b s = 4cm Kreisausschnitt A s = π · r 2 · α / 360° = b s ·r / 2  = 4·5 / 2 = 10cm 2 => A s = 10cm 2 Berechne die Fläche A s eines Kreisausschnitts Gegeben: d = 120 mm | α= 100° Nach der Formel: A s = π · r 2 · α / 360° | mit r...

Aufgaben: Funktionsgleichung mit Steigung m und Punkt p bestimmen Eine Gerade hat die Steigung m 1 und verläuft durch den Punkt P . Bestimme die Funktionsgleichung f(x) , die Achsenschnittpunkte und zeichne den Graphen. m 1 = 1 / 2 und p(2|-2) m 1 = 2 und p(3|-1) m 1 = 3 / 4 und p(-1|3) m 1 = 4 / 5 und p( 3 / 4 |4) Zu den Lösungen1 Funktionsgleichung mit 2 Punkte p 1 und p 2 bestimmen Eine Gerade verläuft durch die Punkte P 1 und P 2 . Bestimme die Funktionsgleichung f(x) , die Achsenschnittpunkte und zeichne den Graphen. p 1 (2|1) und p 2 (5|4) p 1 (-2|3) und p 2 (4|-1) p 1 (3| 9 / 2 ) und p 2 (4|-1) p 1 (-4|-2) und p 2 ( 7 / 4 |4) Zu den Lösungen2 Lösung1 Funktionsgleichung mit Steigung m und Punkt p bestimmen m 1 = 1 / 2 und p(2|-2) Die Formel der lineare Gleichung lautet: y = mx + b In der Gleichung sind x = 2 | y = -2 aus p (2|-2) und m= 1 / 2 bekannt. Der Achsenschnittpunkt b ist zu bestimmen. x, y und m in der Formel einsetzen um ...

Mit PQ-Formel gelöst: x 2 - 5x - 6 = 0 x 2 - 5x - 6 = 0 (Standard Form) "p" und "q" rausfinden Im vergleich mit der Standard Form der PQ-Formel, haben wir: p = - 5 und q = - 6: "p" und "q" in der PQ-Formel einsetzen: x 1/2 = - ( - 5 / 2 ) ± √(( - 5 / 2 ) 2 - (- 6)) => x 1/2 = 2,5 ± 3,5 x 1 = 2,5 + 3,5 = 6 => x 1 = 6 und x 2 = 2,5 - 3,5 = - 1 => x 2 = - 1 Die Gleichung hat die Lösung: L = {- 1 | 6} x 2 - 6x = 27 x 2 - 6x = 27| -27 (in der Standard Form bringen) => x 2 - 6x - 27 = 0 "p" und "q" rausfinden => p = - 6, q = - 27 "p" und "q" in der PQ-Formel einsetzen: x 1/2 = - ( - 6 / 2 ) ± √(( - 6 / 2 ) 2 - (- 27)) => x 1/2 = 3 ± 6 x 1 = 3 + 6 = 9 => x 1 = 9 und x 2 = 3 - 6 = - 3 => x 2 = - 3 Die Gleichung hat die Lösung: L = {- 3 | 9} 3x 2 + 30x + 72 = 0 3x 2 + 30x + 72 = 0 | :3 (in der Standard Form bringen) => x 2 + 10x + 24 = 0 ...

Quadratische Gleichung Definition : Es handelt sich um eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0 oder eine Gleichung die man auf diese Form bringen kann. Dabei sind a , b und c irgendwelche Zahlen wobei a ungleich Null ( a # 0) sein muss N.B. : Die Graphe einer Quadratischen Gleichung ist eine Parabel Beispiele: 3x 2 + 5x + 3 = 0 x 2 + 2x + 7 = 0 Quadratische Gleichung mit PQ-Formel Lösen Die Gleichung ist: x 2 + px + q = 0 Die Lösung: x 1/2 = - p ⁄ 2 ± √(( p ⁄ 2 ) 2 - q) So wird es gelöst: Die Gleichung in die Form x 2 + px + q = 0 bringen; ″p″ und ″q″ rausfinden; Dies in die PQ-Formel einsetzen; Die Lösung damit Berechnen. Beispiel: 3x 2 + 5x + 1 = 0 | :3 (in der Standard Form bringen) ⇒ x 2 + 5 ⁄ 3 x + 1 ⁄ 3 = 0; p = 1,66 und q = 0,33; x 1/2 = - 0,83 ± 0,6; x 1 = -0,83 + 0,6 = - 0,23 ⇒ x 1 = - 0,23 und x 2 = -0,83 - 0,6 = - 1,43 ⇒ x 2 = - 1,43 Satz von Vieta: Seien x 1 und x 2 die Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 +...

Ausführliche Lösungen Finde die Basis Die Basis ist 16 log x 256 = 2 256 = x 2 | √ x = 16 Die Basis ist 6 log x 216 = 3 216 = x 3 | 3 √ x = 6 Die Basis ist 7 log x 343 = 3 343 = x 3 | 3 √ x = 7 Die Basis ist 14 log x 196 = 2 196 = x 2 | √ x = 14 Finde die Zahl log 19 x = 2 x = 19 2 ==> x = 361 log 18 x = 3 x = 18 3 ==> x = 5832 log 22 x = 2 x = 22 2 ==> x = 484 Berechne log 2 32 = x log(32) / log(2) = x ==> x = 5 log 4 4 = x log(4) / log(4) = x ==> x = 1 log 6 36 = x log(36) / log(6) = x ==> x = 2 log 2 64 = x log(64) / log(2) = x ==> x = 6 Berechne nach x log x 27 = 3 27 = x 3 | 3 √ x = 3 log x 25 = 2 25 = x 2 | √ x = 5

Logarithmus zur Basis 2: Zweierlogarithmus Anwendung : Man braucht die Logarithmus um Gleichungen wie y = 5 x , nach x aufzulösen. In anderen Worten eine Gleichung ohne exponentielle (potenzen) schreiben. Allegemeine Gleichung : y = log a x <=> x = a x Beispiel : y = 2 x     | logarithmieren => log 2 y = x y = 5 2x     | logarithmieren =>log 5 y = 2x P.S : Nachdem man x runter gebracht hat, kann man denn die Gleichung nach x rechnen und ohne Probleme! Rechenregel log a (u * v) = log a u + log a v   ==>   Bspl: log 2 (16 * 8) = 4 + 3 = 7 log a (u : v) = log a u - log a v    ==>   Bspl: log 3 (27 : 9) = log 3 27 - log 3 9 = 3 - 2 = 1 log a u n = n * log a u               ==>   Bspl: log 5 125 4 = 4 * log 5 125 = 4 * 3 = 12 log a u = log u / log a                 ==> ...

Die allgemeine Zinseszins-Formel K n = K 0 · q n = K 0 · (1 + p / 100 ) n mit "K n auch K Verz." : das Endkapital (nach der Verzinsung) "K 0 auch K Anf." : das Anfangskapital (vor der Verzinsung) "p%": der Zinssatz "n": die Anzahl der Jahre "q n ": (1 + p / 100 ) n   als der Zinsfaktor Hinweis: Der Zinssatz wird in die Formel anstatt p% einfach p eingesetzt, natürlich wird das Ergebnnis in "%" gegeben (Z.B. anstatt 4.5% einfach 4,5) Formeln umstellen K 0 : Anfangskapital berechnen: K 0 = K n /q n = K n / (1 + p / 100 ) n p%: Zinssatz berechnen p = 100 · ( n √( K n / K 0 ) - 1) n: Zeit (Jahre) berechnen K n / K 0 = (1 + p / 100 ) n | logarithmieren log( K n / K 0 ) = n · log(1 + p / 100 ) ==> n = log( K n / K 0 ) / log(1 + p / 100 ) Beispiele: Ein Guthaben von 1200 Euro wird zu einem Zinssatz von 4 Prozent für einen Zeitraum von 5 Jahren festgelegt. Wie hoch ist das Guthaben nach dieser ...